Matemáticas y Memoria: Un seminario de Análisis y Ecuaciones diferenciales para Latinoamérica.

Título: Métodos topológicos para un problema de autovalores

Expositor: Lorena Soriano Hernández

Analista de datos en Pefisa-Brasil

Abstract:

Este trabajo presenta un problema de autovalores para la ecuación de SchrödingerBopp-Podoslky. Tal problema modela una partícula de onda-masa bajo la influencia de un campo eléctrico descrito por un potencial \(\phi\). Consiste en encontrar números reales \(\omega\) e funciones \(u\) y \(phi\) que satisfagan el sistema
\[
\left\{\begin{array}{l}
-\Delta u+\phi u=\omega u \\
\Delta^2 \phi-\Delta \phi=u^2
\end{array} \text { en } \Omega,\right.
\]
siendo \(\Omega\) es un conjunto abierto y acotado de \(\mathbb{R}^3\), considerando las condiciones de frontera e de normalización
\[
\left\{\begin{array}{l}
u=\Delta \phi=\phi=0 \quad \text { sobre } \quad \partial \Omega, \\
\int_{\Omega} u^2=1 .
\end{array}\right.
\]
Las soluciones de (1) son triplas \(\left(u_n, \phi_n, \omega_n\right) \in H_0^1(\Omega) \times H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega) \times \mathbb{R}\) que se obtuvieron luego de aplicar el Teorema de multiplicadores de Lagrange para espacios de Banach y lemas de deformación al funcional

\[
\begin{gathered}
\qquad F(u, \phi):=\frac{1}{2} \int_{\Omega}|\nabla u|^2 d x+\frac{1}{2} \int_{\Omega} \phi u^2 d x-\frac{1}{4} \int_{\Omega}|\Delta \phi|^2 d x-\frac{1}{4} \int_{\Omega}|\nabla \phi|^2 d x \\
\text { condicionado a la variedad } M=\left\{(u, \phi) \in H_0^1(\Omega) \times H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega) ; \quad\|u\|_{L^2(\Omega)}=1\right\} .
\end{gathered}
\]

Palabras clave: Operador Bi-Lapaciano, Multiplicadores de Lagrange, Condicion de Palais-Smale, Teoría del Género, Teoría de los Puntos Cíticos.